조건부 확률
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조건부 확률(conditional probability)은 어떤 사건 B가 이미 발생했다는 조건 하에서 사건 A가 발생할 확률을 의미한다. 이는 사건 간의 의존 관계를 분석하는 데 사용되며, 두 사건이 독립인지 여부를 판단하는 데에도 활용된다.
조건부 확률은 다음과 같이 정의된다:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), 단 P(B) > 0
- P(A | B): 사건 B가 일어난 조건 하에서 사건 A가 일어날 확률
- P(A ∩ B): 사건 A와 B가 동시에 일어날 확률
- P(B): 사건 B가 일어날 확률
- 시험 합격률
- 전체 수험생 중 30%가 공부했고, 공부한 사람의 합격률이 80%라면
- P(합격 | 공부) = 0.8
- 카드 뽑기
- 52장의 카드 중 빨간 카드는 26장 (하트, 다이아)
- 그중 킹은 2장 (하트킹, 다이아킹)
- P(킹 | 빨간 카드) = 2 / 26 = 1 / 13
조건부 확률의 정의로부터 다음 곱의 법칙이 유도된다:
P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) P(A ∩ B) = P(B | A) × P(A)
- A와 B가 독립일 경우 다음이 성립한다:
- P(A | B) = P(A)
- 즉, B의 발생 여부가 A의 발생 확률에 영향을 주지 않는다.
조건부 확률은 베이즈 정리의 핵심 개념으로 다음과 같이 나타난다:
P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)
이는 사후 확률(posterior probability)을 계산할 때 사용된다.
A 와 B 가 독립이면 한 사건이 일어났다는 정보가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다. 그래서 조건부 확률이 조건 없는 확률과 같다.
- P(B | A) = P(B), P(A | B) = P(A)
- P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
예를 들어 P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 이고 A 와 B 가 독립이면
- P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12
- P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.12 / 0.3 = 0.4 → P(B) 와 같다
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58
이때 0.12 는 두 사건이 함께 일어날 확률이지 조건부 확률이 아니고, 0.3 은 P(A) 일 뿐이다. 0.7(= 0.3 + 0.4)은 두 사건이 동시에 일어날 수 없는 배반일 때의 P(A ∪ B) 이므로 독립 사건의 조건부 확률과 관계가 없다.
| 법칙 | 일반적인 경우 | 특별한 경우 |
|---|---|---|
| 덧셈 법칙 | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | 배반이면 P(A ∩ B) = 0 이므로 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| 곱셈 법칙 | A) | 독립이면 P(A ∩ B) = P(A) × P(B) |
| 구분 | 독립 사건 | 배반 사건 |
|---|---|---|
| 뜻 | 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는다 | 두 사건이 동시에 일어날 수 없다 |
| 교집합 | P(A ∩ B) = P(A) × P(B) | P(A ∩ B) = 0 |
| 조건부 확률 | A) = P(B) | A) = 0 |
확률이 0 이 아닌 두 사건은 배반이면서 독립일 수 없다. 배반이면 A 가 일어난 순간 B 의 확률이 0 이 되어, A 가 B 에 영향을 준 것이기 때문이다.
- Ross, S. (2014). A First Course in Probability. Pearson
- Grimmett, G. R., & Stirzaker, D. R. (2001). Probability and Random Processes. Oxford University Press